Так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию, точка O, яв­ля­ю­ща­я­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды, яв­ля­ет­ся и цен­тром впи­сан­ной в тра­пе­цию ABCD окруж­но­сти.

Про­ведём OK пер­пен­ди­ку­ляр­но к AB, тогда MK пер­пен­ди­ку­ляр­но к AB. Зна­чит, угол MKO яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между гра­нью MAB и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда

Рас­смот­рим тра­пе­цию ABCD. Так как в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность, то

Про­ведём вы­со­ту CH, тогда AH  =  BC, AB  =  CH и Пусть AB  =  x, тогда CD  =  9 – x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке CHD от­ре­зок AB  =  4. Имеем:

Ра­ди­ус впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию окруж­но­сти равен по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MOK от­ре­зок то есть Пусть MO  =  3x, MK  =  5x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

зна­чит,

Найдём объём пи­ра­ми­ды по фор­му­ле:

Ответ: 9.

Так как пи­ра­ми­да яв­ля­ет­ся пра­виль­ной, то в ее ос­но­ва­нии лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник. Тогда най­дем его пло­щадь по фор­му­ле

Так как H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то

Най­дем AM по фор­му­ле вы­со­ты рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка: Тогда

Так как то тре­уголь­ник AHP  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный. Зна­чит,

Те­перь най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ:

Бо­ко­вые сто­ро­ны пи­ра­ми­ды об­ра­зу­ют с ос­но­ва­ни­ем угол в тогда В тре­уголь­ни­ке MPH ,тогда Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, тогда H—центр впи­сан­ной окруж­но­сти в тре­уголь­ник ABC, тогда Зная вы­со­ту ос­но­ва­ния, най­дем сто­ро­ну ос­но­ва­ния через фор­му­лу вы­со­ты:

Зная сто­ро­ну ос­но­ва­ния, най­дем пло­щадь:

Те­перь най­дем объем пи­ра­ми­ды по фор­му­ле

Ответ:

Объем приз­мы  — это пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы, умно­жен­ная на ее вы­со­ту. Пло­щадь ос­но­ва­ния равна так как в ос­но­ва­нии квад­рат. Угол между B₁D и бо­ко­вой сто­ро­ной  — это угол B₁DC₁. Сто­ро­на B₁C₁ равна сто­ро­не BC. Тогда рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁C₁D: он пря­мо­уголь­ный, так как приз­ма пра­виль­ная, сто­ро­на B₁C₁ яв­ля­ет­ся ка­те­том и лежит про­тив угла в 30°. Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на B₁D равна Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник B₁DB: BD  — это диа­го­наль ос­но­ва­ния, рав­ная тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный. Мы знаем сто­ро­ны BD и B₁D, сле­до­ва­тель­но, мы можем найти сто­ро­ну BB₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: Зна­чит, объем приз­мы равен

Ответ: 4 см³.

Объем приз­мы  — это пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы, умно­жен­ная на ее вы­со­ту. Если пло­щадь ос­но­ва­ния (ко­то­рое яв­ля­ет­ся квад­ра­том) равна 8, то сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Угол между B₁D и бо­ко­вой сто­ро­ной  — это угол B₁DC₁. Сто­ро­на B₁C₁ равна сто­ро­не BC. Тогда рас­смот­рим тре­уголь­ник B₁C₁D: он пря­мо­уголь­ный, так как приз­ма пра­виль­ная, сто­ро­на B₁C₁ яв­ля­ет­ся ка­те­том и лежит про­тив угла в 30°. Сле­до­ва­тель­но, сто­ро­на B₁D равна Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник B₁DB: BD  — это диа­го­наль ос­но­ва­ния, рав­ная тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный. Мы знаем сто­ро­ны BD и B₁D, сле­до­ва­тель­но, мы можем найти сто­ро­ну BB₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, объем приз­мы равен

Ответ: 32 см³.

Пусть a = 1 см, b = 3 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Тогда Бо­ко­вое ребро равно 4 см.Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 12 см³.

Пусть a = 2 см, b = 3 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да

Тогда Бо­ко­вое ребро равно 5 см. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 62 см².

Так как дан­ная приз­ма пра­виль­ная, то в ее ос­но­ва­ни­ях лежат пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Най­дем длину сто­рон ос­но­ва­ния по фор­му­ле

Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния по фор­му­ле пло­ща­ди для пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков

Так как то Тогда имеем:

Ответ: 3.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Про­ведём вы­со­ту CN. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACN в нашем слу­чае, AN  =  AD − (AD − BC) : 2, то есть

Те­перь по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка CND найдём бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции, ко­то­рая, так как бо­ко­вые грани приз­мы яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми, будет равна вы­со­те приз­мы:

Пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна сумме пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти и пло­ща­дей ос­но­ва­ний. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти, умно­жив вы­со­ту на пе­ри­метр ос­но­ва­ния, тогда пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти равна

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию вы­со­ты на пло­щадь ос­но­ва­ния, в нашем слу­чае

Ответ: 788, 1404.

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Про­ведём вы­со­ту AM к сто­ро­не BC, апо­фе­му DM в плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка BDC, вы­со­ту пи­ра­ми­ды DO. При­мем вы­со­ту DO за x. Угол DAO  — угол между реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, по­это­му он равен 45°. По­это­му AO  =  DO.

Точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок MO со­став­ля­ет тре­тью часть от вы­со­ты/ме­ди­а­ны AM, а AO  — две трети (O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, делит их в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны).

Найдём x, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOM:

Итак, вы­со­та AM равна те­перь найдём сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC:

а затем его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V пи­ра­ми­ды DABC:

Ответ: 18 дм³.

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Про­ведём вы­со­ту AM к сто­ро­не BC, апо­фе­му DM в плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка BDC, вы­со­ту пи­ра­ми­ды DO. При­мем вы­со­ту DO за x. Угол DAO  — угол между реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, по­это­му он равен 45°. По­это­му AO = DO.

Точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­ре­зок MO со­став­ля­ет тре­тью часть от вы­со­ты/ме­ди­а­ны AM, а AO  — две трети (O  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, делит их в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны).

Найдём x, вос­поль­зо­вав­шись тео­ре­мой Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOM:

Итак, вы­со­та AM равна 9, те­перь найдём сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC:

а затем его пло­щадь S:

На­ко­нец, найдём объём V пи­ра­ми­ды DABC:

Ответ:

У дан­ной пи­ра­ми­ды все ребра равны. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно Точка па­де­ния вы­со­ты сов­па­да­ет с цен­тром опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти, Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOP на­хо­дим:

Из фор­му­лы объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем:

Ответ:

У дан­ной пи­ра­ми­ды все ребра равны. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно Точка па­де­ния вы­со­ты сов­па­да­ет с цен­тром опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти, Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOP:

Из фор­му­лы объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем:

Ответ:

Вы­со­та ос­но­ва­ния сов­па­да­ет с цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния, так как бо­ко­вые ребра рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Тра­пе­ция ABCD яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, так как толь­ко во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции можно опи­сать окруж­ность, зна­чит, AB  =  CD. От­ре­зок AD яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, по­сколь­ку угол ABD  — пря­мой. Точка O  — центр окруж­но­сти, тогда SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, ко­то­рая лежит на се­ре­ди­не AD.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD опу­стим вы­со­ту BF, тогда

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Ответ:

Ос­но­ва­ние вы­со­ты на­хо­дит­ся в цен­тре впи­сан­ной в тра­пе­цию окруж­но­сти, так как бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, а ос­но­ва­ния равны 6 и 8, то бо­ко­вые сто­ро­ны равны 7, так как окруж­ность можно впи­сать толь­ко в ту тра­пе­цию, у ко­то­рой сумма длин ос­но­ва­ний равна сумме длин бо­ко­вых сто­рон. Про­ведём вы­со­ту BF в тра­пе­ции ABCD и найдём её ве­ли­чи­ну: а так как то тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Под­ста­вим и по­лу­чим, что Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен где p  — по­лу­пе­ри­метр, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна а объем пи­ра­ми­ды  — 

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  10 см. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна

Найдём синус угла MKS:

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

Таким об­ра­зом, Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 100 см². Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

Ответ:

Пусть дан­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис).

Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, у неё в ос­но­ва­нии лежит квад­рат ABCD. Вы­со­та SO па­да­ет в центр ABCD. Про­ведём апо­фе­мы SM и SK. По­лу­чи­лось, MK  =  CB  =  2 см. В тре­уголь­ни­ке MSK вы­со­та MN  — рас­сто­я­ние от сто­ро­ны ос­но­ва­ния до про­ти­во­ле­жа­щей бо­ко­вой грани, она равна

Найдём синус угла MKS:

Зна­чит, угол MKS равен 60°. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SOK при­мем SO за x. По­сколь­ку катет KO лежит про­тив угла ве­ли­чи­ной 30°, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SOK имеем:

Таким об­ра­зом, Пло­щадь S ос­но­ва­ния равна квад­ра­ту его сто­ро­ны, то есть 4 см². Найдём объём V пи­ра­ми­ды SABCD:

Ответ:

Объем пи­ра­ми­ды  — это где h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Если дву­гран­ный угол при ребре ос­но­ва­ния равен 45°, угол MNO равен 45°. Зна­чит, тре­уголь­ник MNO рав­но­бед­рен­ный, и ON = MO. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, в ос­но­ва­нии квад­рат и Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объем равен

Ответ: 36 000 см³.

Объем пи­ра­ми­ды  — это где h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Если дву­гран­ный угол при ребре ос­но­ва­ния равен 45°, угол MNO равен 45°. Зна­чит, тре­уголь­ник MNO рав­но­бед­рен­ный, и ON = MO. Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, в ос­но­ва­нии квад­рат. Зна­чит, Так как тре­уголь­ник MNO рав­но­бед­рен­ный, MO тоже равна 3 см. Пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объем равен

Ответ: 36 см³.

Так как по усло­вию четырёхуголь­ная приз­ма пра­виль­ная, то в её ос­но­ва­нии лежит квад­рат, а бо­ко­вые рёбра пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию. Угол B₁DA₁  =  30°, так как пря­мая A₁D  — есть про­ек­ция диа­го­на­ли приз­мы на плос­кость бо­ко­вой грани. Тре­уголь­ник DA₁B₁  — пря­мо­уголь­ный, по­это­му DB₁ в два раза A₁B₁, так как A₁B₁ лежит про­тив угла 30°, по­это­му Диа­го­наль BD квад­ра­та ABCD равна 2, так как Найдём BB₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: под­ста­вим и по­лу­чим, что BB₁  =  2, тогда объем приз­мы равен

Ответ: 4.